Wróć do spisu kursów
Egzamin Ósmoklasisty
Pobierz Kartę Pracy (PDF)Temat 10.1: Punkty, proste, półproste, odcinki
Badanie prostopadłości, równoległości oraz wyznaczanie odległości punktu od prostej.
Podstawowe pojęcia geometryczne
- Prosta: nieograniczona z obu stron linia prosta (nie ma początku ani końca). Oznaczamy ją małą literą (np. k).
- Półprosta: linia prosta ograniczona z jednej strony (ma początek, ale nie ma końca).
- Odcinek: część prostej zawarta między dwoma punktami (ma początek i koniec). Oznaczamy go końcami, np. AB, a jego długość jako |AB|.
Prostopadłość i równoległość:
- Proste równoległe (a ∥ b): proste leżące na jednej płaszczyźnie, które nie mają punktów wspólnych (lub pokrywają się).
- Proste prostopadłe (a ⊥ b): proste, które przecinają się pod kątem prostym (90°).
Odległość punktu od prostej:
Najkrótszym odcinkiem łączącym punkt P z prostą k jest odcinek prostopadły do tej prostej. Długość tego odcinka to odległość punktu P od prostej k.
Przykład z rozwiązaniem:
Punkt P leży poza prostą k. Jaki jest najkrótszy odcinek łączący punkt P z prostą k?
Krok 1: Wyobraźmy sobie dowolne odcinki łączące punkt P z prostą k.
Krok 2: Odcinki nachylone pod kątem innym niż 90° tworzą z prostą trójkąty prostokątne, w których są przeciwprostokątnymi (najdłuższymi bokami).
Krok 3: Najkrótszą drogą (przyprostokątną) jest zawsze odcinek prostopadły do prostej k.
Wynik: Odcinek prostopadły do prostej
Dane są cztery proste: a, b, c oraz d. Wiemy, że prosta a jest równoległa do b (a ∥ b), prosta b jest prostopadła do c (b ⊥ c), a prosta c jest równoległa do d (c ∥ d). Jaka relacja łączy proste a i d?
Krok 1: Analizujemy pierwsze dwie relacje: a ∥ b oraz b ⊥ c. Skoro proste a i b są równoległe, to każda prosta prostopadła do b musi być też prostopadła do a. Zatem: a ⊥ c.
Krok 2: Dokładamy trzecią relację: c ∥ d. Skoro prosta c jest równoległa do d, a prosta a jest prostopadła do c (a ⊥ c), to prosta a musi być również prostopadła do d.
Krok 3: Ostatecznie: proste a i d są do siebie prostopadłe (a ⊥ d).
Wynik: Proste a i d są prostopadłe (a ⊥ d)
Sprawdź swoją wiedzę
Pytanie 1 z 5Wynik: 0 poprawnych
Najkrótszy odcinek łączący punkt P z prostą k to odcinek:
prostopadły do prostej k
równoległy do prostej k
nachylony pod kątem 45°
leżący na prostej k
Testy do tematu
0 / 6 Gwiazdek
Poziom Łatwy
Zestaw 1: Podstawy linii i odcinków
10 prostych zadań z rozpoznawania prostych, odcinków, półprostych i ich relacji.
10 zadań
Poziom Średni
Zestaw 2: Relacje prostopadłości i równoległości CKE
10 zadań egzaminacyjnych z badania układów prostych i współrzędnych odcinków.
10 zadań
Poziom Wyzwanie
Zestaw 3: Wyzwanie E8 – Łamigłówki geometryczne i proste
10 złożonych zadań problemowych CKE z podziału prostych i odległości.
10 zadań