Temat 11.1: Trójkąty i warunek trójkąta

1. Skrót Teorii i Najważniejsze Wzory

Klasyfikacja trójkątów i warunek ich budowy

Trójkąt to wielokąt o trzech bokach i trzech kątach wewnętrznych.

1. Podział trójkątów ze względu na boki:

Różnoboczny: wszystkie boki mają różne długości.
Równoramienny: co najmniej dwa boki (ramiona) mają tę samą długość. Kąty przy podstawie są równe.
Równoboczny: wszystkie boki mają równą długość, a każdy kąt wewnętrzny ma miarę dokładnie 60°.

2. Podział trójkątów ze względu na kąty:

Ostrokątny: wszystkie trzy kąty są ostre (mniejsze niż 90°).
Prostokątny: jeden kąt jest prosty (90°). Boki tworzące kąt prosty to przyprostokątne, a najdłuższy bok to przeciwprostokątna.
Rozwartokątny: jeden kąt jest rozwarty (większy niż 90°).

3. Warunek trójkąta (Nierówność trójkąta):

Z trzech odcinków o długościach a, b, c można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości dwóch dowolnych boków jest większa od długości trzeciego boku:

a + b > c \quad \text{oraz} \quad a + c > b \quad \text{oraz} \quad b + c > a

Wygodny skrót: Wystarczy sprawdzić, czy suma dwóch krótszych odcinków jest większa od najdłuższego.

2. Zadania Ćwiczeniowe (Rozwiąż samodzielnie)

Sprawdzian Wiedzy (Pytania Testowe):

Zadanie 1. Z odcinków o jakich długościach NIE można zbudować trójkąta?

A. 2 cm, 3 cm, 4 cm

B. 5 cm, 5 cm, 10 cm

C. 6 cm, 8 cm, 10 cm

D. 7 cm, 7 cm, 7 cm

Zadanie 2. Trójkąt egipski ma boki w stosunku 3 : 4 : 5. Z których odcinków NIE można zbudować trójkąta egipskiego?

A. 6, 8, 10

B. 9, 12, 15

C. 12, 20, 25

D. 21, 28, 35

Zadanie 3. Dwa boki trójkąta mają długości 3 cm i 7 cm. Która z poniższych wartości może być długością trzeciego boku?

A. 3 cm

B. 4 cm

C. 6 cm

D. 11 cm

3. Karta Odpowiedzi i Wyjaśnienia Krok po Kroku

Poniższa sekcja służy do natychmiastowego sprawdzenia poprawności rozwiązanych zadań.

Odpowiedzi do Sprawdzianu Wiedzy:

Zadanie 1: Poprawna odpowiedź: B

Wyjaśnienie: Suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego. Dla opcji B mamy: 5 + 5 = 10, a najdłuższy bok to 10. Ponieważ 10 nie jest większe od 10 (10 = 10), trójkąta nie da się zbudować.

Zadanie 2: Poprawna odpowiedź: C

Wyjaśnienie: Sprawdzamy stosunek boków dzieląc je przez odpowiadające liczby 3, 4, 5. Dla 12, 20, 25 otrzymujemy: 12/3 = 4, 20/4 = 5, 25/5 = 5. Ponieważ wartości te są różne, te odcinki nie tworzą trójkąta egipskiego.

Zadanie 3: Poprawna odpowiedź: C

Wyjaśnienie: Oznaczmy trzeci bok jako x. Warunek trójkąta wymaga, by: 1) 3 + 7 > x => x < 10, oraz 2) 3 + x > 7 => x > 4. Długość x musi być w przedziale od 4 cm do 10 cm (4 < x < 10). Tylko 6 cm spełnia ten warunek.