matma.fun
Karta Pracy & Arkusz Ćwiczeń CKEImię i nazwisko: ................................................
Data: .................... | Klasa: .........
Temat 5.1: Potęgi i ich własności
1. Skrót Teorii i Najważniejsze Wzory
Potęgi i ich własności
Potęgowanie to skrócony zapis wielokrotnego mnożenia tej samej liczby przez siebie:
Liczba a to podstawa potęgi, a n to wykładnik.
Kluczowe własności potęg:
- Ten sam mianownik (ta sama podstawa):
- Mnożenie: aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
- Dzielenie: aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
- Ten sam wykładnik:
- Mnożenie: aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ
- Dzielenie: aⁿ ÷ bⁿ = (a ÷ b)ⁿ lub aⁿ / bⁿ = (a / b)ⁿ
- Potęgowanie potęgi: (aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ
2. Zadania Ćwiczeniowe (Rozwiąż samodzielnie)
Sprawdzian Wiedzy (Pytania Testowe):
Zadanie 1. Ile wynosi wartość wyrażenia 2³ · 2⁴?
A. 128 (2⁷)
B. 64 (2⁶)
C. 256 (2⁸)
D. 32 (2⁵)
Zadanie 2. Ile wynosi wartość wyrażenia 3⁸ : 3⁵?
A. 27 (3³)
B. 9 (3²)
C. 81 (3⁴)
D. 243 (3⁵)
Zadanie 3. Oblicz: (2³)².
A. 64 (2⁶)
B. 32 (2⁵)
C. 16 (2⁴)
D. 128 (2⁷)
Zadanie 4. Zapisz w postaci jednej potęgi: 2⁵ · 5⁵.
A. 10⁵
B. 10¹⁰
C. 7⁵
D. 10²⁵
Zadanie 5. Liczba 4⁵ jest równa:
A. 2¹⁰
B. 2⁷
C. 2²⁵
D. 2⁸
Zestaw 1: Podstawowe działania na potęgach (Poziom Łatwy ⭐)
Zadanie 1. Zapisz w postaci jednej potęgi: 5² · 5⁴.
A. 5⁶
B. 5⁸
C. 25⁶
D. 5²
Zadanie 2. Oblicz: 10⁶ : 10².
A. 10⁴
B. 10³
C. 10⁸
D. 10¹²
Zadanie 3. Wartość potęgi (-3)³ wynosi:
A. -27
B. 27
C. -9
D. 9
Zadanie 4. Oblicz: (3²)³.
A. 3⁶
B. 3⁵
C. 3⁹
D. 38
Zadanie 5. Która z poniższych liczb jest równa 1?
A. 7⁰
B. 0⁷
C. 7¹
D. -7¹
Zadanie 6. Oblicz: 6³ : 2³.
A. 3³ = 27
B. 4³ = 64
C. 30
D. 3⁶
Zadanie 7. Ile to jest 2⁵?
A. 32
B. 10
C. 25
D. 64
Zadanie 8. Zapisz 8 jako potęgę o podstawie 2:
A. 2³
B. 2⁴
C. 2²
D. 2⁸
Zadanie 9. Wynikiem działania (-1)¹⁰⁰ jest:
A. 1
B. -1
C. 100
D. -100
Zadanie 10. Oblicz: 0,1².
A. 0,01
B. 0,1
C. 0,001
D. 0,2
Zestaw 2: Przekształcanie podstaw i iloczyny (Poziom Średni ⭐⭐)
Zadanie 1. Przedstaw liczbę 9⁴ w postaci potęgi o podstawie 3:
A. 3⁸
B. 3⁶
C. 3¹²
D. 3¹⁶
Zadanie 2. Wartość wyrażenia (2³ · 4²) : 8² jest równa:
A. 2
B. 4
C. 1
D. 8
Zadanie 3. Ile wynosi połowa liczby 2¹⁰?
A. 2⁹
B. 1¹⁰
C. 2⁵
D. 1⁵
Zadanie 4. Podwójna wartość liczby 4⁸ to:
A. 2¹⁷
B. 8⁸
C. 4⁹
D. 2¹⁶
Zadanie 5. Oblicz: 5⁸ : (5³ · 5²).
A. 125 (5³)
B. 25 (5²)
C. 5
D. 625 (5⁴)
Zadanie 6. Liczba (0,5)⁴ pomnożona przez 2⁴ daje:
A. 1
B. 0,5
C. 2
D. 16
Zadanie 7. Wskaż największą z podanych liczb: 2³⁰, 3²⁰, 4¹⁵.
A. 3²⁰
B. 2³⁰
C. 4¹⁵
D. wszystkie są równe
Zadanie 8. Zapisz (1/3)⁻² w postaci liczby całkowitej:
A. 9
B. 1/9
C. -9
D. -6
Zadanie 9. Ile razy liczba 3¹² jest większa od liczby 9⁵?
A. 9 razy (3²)
B. 3 razy
C. 27 razy
D. 81 razy
Zadanie 10. Wynikiem wyrażenia 2⁴ + 2⁴ jest:
A. 2⁵
B. 2⁸
C. 4⁴
D. 4⁸
Zestaw 3: Wyzwanie E8 – Sumy potęg i ujemne wykładniki (Poziom Wyzwanie ⭐⭐⭐)
Zadanie 1. Suma 3⁵ + 3⁵ + 3⁵ jest równa:
A. 3⁶
B. 9⁵
C. 3¹⁵
D. 9¹⁵
Zadanie 2. Oblicz wartość wyrażenia: (2⁷ + 2⁷ + 2⁷ + 2⁷) / 4⁴.
A. 2
B. 4
C. 1
D. 1/2
Zadanie 3. Ile wynosi wartość wyrażenia 10⁻³?
A. 0,001
B. 0,01
C. -1000
D. -0,001
Zadanie 4. Liczba (2/3)⁻³ jest równa:
A. 27/8 = 3 3/8
B. 8/27
C. -8/27
D. -27/8
Zadanie 5. Wyznacz x z równania 5ˣ⁺² = 125 · 5⁴:
A. x = 5
B. x = 4
C. x = 3
D. x = 6
Zadanie 6. O ile liczba 4⁶ jest większa od 2¹¹?
A. o 2¹¹
B. o 2¹⁰
C. o 2⁶
D. o 4⁵
Zadanie 7. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: A = 2³⁰⁰ czy B = 3²⁰⁰.
A. B jest większa (B > A)
B. A jest większa (A > B)
C. A = B
D. nie da się porównać
Zadanie 8. Ostatnią cyfrą liczby 2²¹ jest:
A. 2
B. 4
C. 8
D. 6
Zadanie 9. Uprość wyrażenie: (a³ · a⁻⁵) : a⁻⁴.
A. a²
B. a⁻⁶
C. a⁻²
D. a⁴
Zadanie 10. Wartość ilorazu (6⁵ · 2⁵) / 12⁴ wynosi:
A. 12
B. 1
C. 144
D. 6
3. Karta Odpowiedzi i Wyjaśnienia Krok po Kroku
Poniższa sekcja służy do natychmiastowego sprawdzenia poprawności rozwiązanych zadań.
Odpowiedzi do Sprawdzianu Wiedzy:
Zadanie 1: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach dodajemy wykładniki: 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128.
Zadanie 2: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Przy dzieleniu potęg o tych samych podstawach odejmujemy wykładniki: 3⁸⁻⁵ = 3³ = 27.
Zadanie 3: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki: 2³·² = 2⁶ = 64.
Zadanie 4: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Przy jednakowych wykładnikach mnożymy podstawy: (2 · 5)⁵ = 10⁵.
Zadanie 5: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 4 = 2², stąd 4⁵ = (2²)⁵ = 2¹⁰ = 1 024.
Odpowiedzi — Zestaw 1: Podstawowe działania na potęgach:
Zadanie 1: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Dodajemy wykładniki: 2 + 4 = 6 => 5⁶.
Zadanie 2: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Odejmujemy wykładniki: 6 - 2 = 4 => 10⁴.
Zadanie 3: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: (-3) · (-3) · (-3) = -27 (nieparzysta potęga liczby ujemnej).
Zadanie 4: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Mnożymy wykładniki: 2 · 3 = 6 => 3⁶.
Zadanie 5: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Dowolna liczba różna od zera podniesiona do potęgi 0 daje 1.
Zadanie 6: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: (6 : 2)³ = 3³ = 27.
Zadanie 7: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
Zadanie 8: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 2 · 2 · 2 = 8 = 2³.
Zadanie 9: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Parzysta potęga liczby -1 wynosi 1.
Zadanie 10: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 0,1 · 0,1 = 0,01.
Odpowiedzi — Zestaw 2: Przekształcanie podstaw i iloczyny:
Zadanie 1: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 9⁴ = (3²)⁴ = 3⁸.
Zadanie 2: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 2³ · (2²)² : (2³)² = 2³ · 2⁴ : 2⁶ = 2⁷ : 2⁶ = 2¹ = 2.
Zadanie 3: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 2¹⁰ : 2 = 2¹⁰⁻¹ = 2⁹.
Zadanie 4: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 2 · 4⁸ = 2 · (2²)⁸ = 2¹ · 2¹⁶ = 2¹⁷.
Zadanie 5: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Nawias: 5³⁺² = 5⁵. Całość: 5⁸⁻⁵ = 5³ = 125.
Zadanie 6: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: (0,5 · 2)⁴ = 1⁴ = 1.
Zadanie 7: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 2³⁰ = (2³)¹⁰ = 8¹⁰. 4¹⁵ = (4³)⁵... Sprowadźmy do potęgi 10: 2³⁰ = 8¹⁰, 3²⁰ = 9¹⁰, 4¹⁵ = (2²)¹⁵ = 2³⁰ = 8¹⁰. Skoro 9¹⁰ > 8¹⁰, to 3²⁰ jest największa.
Zadanie 8: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: (1/3)⁻² = 3² = 9.
Zadanie 9: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 9⁵ = (3²)⁵ = 3¹⁰. 3¹² : 3¹⁰ = 3² = 9 razy.
Zadanie 10: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 2⁴ + 2⁴ = 2 · 2⁴ = 2⁵.
Odpowiedzi — Zestaw 3: Wyzwanie E8 – Sumy potęg i ujemne wykładniki:
Zadanie 1: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 3 · 3⁵ = 3¹⁺⁵ = 3⁶.
Zadanie 2: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Licznik: 4 · 2⁷ = 2² · 2⁷ = 2⁹. Mianownik: 4⁴ = (2²)⁴ = 2⁸. Iloraz: 2⁹ : 2⁸ = 2.
Zadanie 3: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 10⁻³ = 1 / 10³ = 1/1000 = 0,001.
Zadanie 4: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: (3/2)³ = 27/8 = 3 3/8.
Zadanie 5: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 125 = 5³. Prawa strona = 5³⁺⁴ = 5⁷. Zatem x + 2 = 7 => x = 5.
Zadanie 6: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 4⁶ = (2²)⁶ = 2¹². Różnica: 2¹² - 2¹¹ = 2¹¹(2 - 1) = 2¹¹.
Zadanie 7: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: A = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰. B = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰. Ponieważ 9¹⁰⁰ > 8¹⁰⁰, to B > A.
Zadanie 8: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Cyfry jedności potęg 2 powtarzają się w cyklu 4-elementowym: 2, 4, 8, 6. 21 : 4 = 5 r 1. Pierwsza cyfra cyklu to 2.
Zadanie 9: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Licznik: a³⁺(⁻⁵) = a⁻². Całość: a⁻²⁻(⁻⁴) = a⁻²⁺⁴ = a².
Zadanie 10: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Licznik: (6 · 2)⁵ = 12⁵. Iloraz: 12⁵ : 12⁴ = 12¹ = 12.