matma.fun
Karta Pracy & Arkusz Ćwiczeń CKEImię i nazwisko: ................................................
Data: .................... | Klasa: .........
Temat 8.1: Sprawdzanie, czy liczba spełnia równanie
1. Skrót Teorii i Najważniejsze Wzory
Spełnianie równania (Liczba spełniająca równanie)
Liczba spełnia równanie (jest jego rozwiązaniem lub pierwiastkiem), jeśli po wstawieniu jej w miejsce niewiadomej (np. x) otrzymamy po obu stronach znaku równości tę samą wartość.
Metoda L = P (Lewa strona równa się prawej):
Aby sprawdzić, czy dana liczba spełnia równanie:
- Oblicz wartość lewej strony równania (L), podstawiając tę liczbę w miejsce niewiadomej.
- Oblicz wartość prawej strony równania (P), podstawiając tę liczbę w miejsce niewiadomej (jeśli po prawej stronie występuje zmienna).
- Porównaj wyniki:
Dlaczego to supermoc?
Na egzaminie ósmoklasisty zadania jednokrotnego wyboru z równaniami można rozwiązać znacznie szybciej i bez błędów rachunkowych, po prostu wstawiając proponowane odpowiedzi ABCD i sprawdzając, dla której z nich zachodzi L = P!
2. Zadania Ćwiczeniowe (Rozwiąż samodzielnie)
Sprawdzian Wiedzy (Pytania Testowe):
Zadanie 1. Sprawdź, która z liczb spełnia równanie x² - 3x = 4.
A. -1
B. 0
C. 1
D. 3
Zadanie 2. Czy liczba x = -2 spełnia równanie (x + 6) / x = -2?
A. Tak, ponieważ L = P = -2
B. Nie, ponieważ L = 2
C. Nie, mianownik jest równe 0
D. Tak, ponieważ L = P = 2
Zadanie 3. Rozwiązaniem równania 2(x - 3) = 4 - x jest liczba:
A. 10/3
B. 3
C. 4
D. 2
Zadanie 4. Które z poniższych równań spełnia liczba x = 0?
A. 5x + 3 = 3
B. 2x - 4 = 0
C. 3(x + 1) = 0
D. x + 2 = -2
Zadanie 5. Równanie tożsamościowe to równanie, które:
A. jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą
B. nie ma żadnego rozwiązania
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie
D. ma tylko rozwiązania dodatnie
Zestaw 1: Metoda L = P (Podstawianie) (Poziom Łatwy ⭐)
Zadanie 1. Czy liczba x = 5 spełnia równanie 3x - 4 = 11?
A. Tak, spełnia
B. Nie spełnia
C. Równanie jest sprzeczne
D. x = 5 nie da się podstawić
Zadanie 2. Czy liczba x = 2 spełnia równanie x + 7 = 10?
A. Nie spełnia (L = 9)
B. Tak, spełnia
C. Równanie ma 2 rozwiązania
D. L = 10
Zadanie 3. Która z liczb spełnia równanie 4x = 24?
A. 6
B. 4
C. 8
D. 5
Zadanie 4. Sprawdź, czy x = -1 spełnia 2x + 3 = 1:
A. Tak, spełnia
B. Nie spełnia
C. Równanie jest sprzeczne
D. L = 5
Zadanie 5. Które równanie spełnia liczba x = 3?
A. x + 4 = 7
B. 2x = 9
C. x - 5 = 0
D. 3x = 6
Zadanie 6. Czy liczba x = 0 spełnia równanie x(x - 4) = 0?
A. Tak, spełnia
B. Nie spełnia
C. Tylko x = 4 spełnia
D. L = -4
Zadanie 7. Liczba x = 4 jest rozwiązaniem równania:
A. 1/2 x = 2
B. 3x = 10
C. x + 2 = 8
D. x - 4 = 4
Zadanie 8. Czy liczba x = -3 spełnia równanie x² = 9?
A. Tak, spełnia
B. Nie, bo kwadrat jest ujemny
C. Tylko x = 3 spełnia
D. Nie można obliczyć
Zadanie 9. Która z liczb -2, 0, 2 spełnia równanie x - 2 = -4?
A. -2
B. 0
C. 2
D. żadna z nich
Zadanie 10. Sprawdź, czy x = 1/2 spełnia równanie 2x - 1 = 0:
A. Tak, spełnia
B. Nie spełnia
C. Równanie jest sprzeczne
D. L = 1
Zestaw 2: Testowanie odpowiedzi w zadaniach CKE (Poziom Średni ⭐⭐)
Zadanie 1. Która z podanych liczb jest rozwiązaniem równania 3(x - 1) = 2(x + 2)?
A. 7
B. 5
C. 3
D. 1
Zadanie 2. Sprawdź, która liczba spełnia równanie (2x + 4) / 3 = x + 1:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Zadanie 3. Rozwiązaniem równania x² - 5x + 6 = 0 są liczby:
A. 2 oraz 3
B. 1 oraz 6
C. -2 oraz -3
D. 0 oraz 5
Zadanie 4. Która z liczb NIE JEST rozwiązaniem równania x³ - x = 0?
A. 2
B. 0
C. 1
D. -1
Zadanie 5. Czy liczba x = 4 spełnia równanie √(x + 5) = 3?
A. Tak, spełnia
B. Nie, L = 9
C. Nie, P = 9
D. Równanie nie ma rozwiązań
Zadanie 6. Wskaż równanie, którego rozwiązaniem jest liczba x = -4:
A. 3 - x = 7
B. 2x + 8 = 4
C. x/2 = 2
D. x - 4 = 0
Zadanie 7. Równanie (x - 3)(x + 2) = 0 spełniają liczby:
A. 3 oraz -2
B. -3 oraz 2
C. 3 oraz 2
D. -3 oraz -2
Zadanie 8. Dla jakiej wartości parametru a liczba x = 2 spełnia równanie ax + 4 = 10?
A. a = 3
B. a = 2
C. a = 4
D. a = 5
Zadanie 9. Liczba x = 1 jest rozwiązaniem równania z niewiadomą x:
A. a x + 3 = 5 gdy a = 2
B. x + a = 0 gdy a = 1
C. 2x = a gdy a = 4
D. x - a = 2 gdy a = 3
Zadanie 10. Która liczba spełnia równanie |x - 3| = 2?
A. 5 oraz 1
B. 5 oraz -5
C. 1 oraz -1
D. tylko 5
Zestaw 3: Wyzwanie E8 – Równania tożsamościowe i sprzeczne (Poziom Wyzwanie ⭐⭐⭐)
Zadanie 1. Równanie 2(x + 3) = 2x + 6 jest przykładem równania:
A. tożsamościowego (nieskończenie wiele rozwiązań)
B. sprzecznego (brak rozwiązań)
C. oznaczonego z jednym rozwiązaniem x = 0
D. oznaczonego z x = 3
Zadanie 2. Równanie 3x + 5 = 3x - 2 jest przykładem równania:
A. sprzecznego (brak rozwiązań)
B. tożsamościowego
C. z rozwiązaniem x = 0
D. z rozwiązaniem x = 7
Zadanie 3. Dla jakiej wartości parametru m równanie mx = 0 ma nieskończenie wiele rozwiązań?
A. m = 0
B. m = 1
C. dla żadnego m
D. dla m ≠ 0
Zadanie 4. Ile rozwiązań ma równanie x² + 9 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych?
A. 0 rozwiązań (jest sprzeczne)
B. 2 rozwiązania (3 i -3)
C. 1 rozwiązanie (0)
D. nieskończenie wiele
Zadanie 5. Równanie x / (x - 2) = 2 / (x - 2) po sprawdzeniu założeń dziedziny:
A. nie ma rozwiązań (x = 2 nie należy do dziedziny)
B. ma rozwiązanie x = 2
C. ma nieskończenie wiele rozwiązań
D. ma rozwiązanie x = 0
Zadanie 6. Ile wynosi suma rozwiązań równania (x - 4)(x + 4)(x - 1) = 0?
A. 1
B. 4
C. 0
D. -1
Zadanie 7. Podaj liczbę rozwiązań równania |x| = -3:
A. 0 rozwiązań
B. 1 rozwiązanie
C. 2 rozwiązania
D. nieskończenie wiele
Zadanie 8. Dla jakiego k równanie 4x - k = 2(2x - 3) jest tożsamościowe?
A. k = 6
B. k = -6
C. k = 3
D. k = 0
Zadanie 9. Równanie x² = x spełniają dokładnie dwie liczby:
A. 0 oraz 1
B. 1 oraz -1
C. 0 oraz -1
D. 2 oraz 0
Zadanie 10. Ile jest liczb całkowitych spełniających równanie (x² - 9)√(x - 4) = 0?
A. 1 (tylko x = 4)
B. 3 (3, -3, 4)
C. 2 (3, 4)
D. 0
3. Karta Odpowiedzi i Wyjaśnienia Krok po Kroku
Poniższa sekcja służy do natychmiastowego sprawdzenia poprawności rozwiązanych zadań.
Odpowiedzi do Sprawdzianu Wiedzy:
Zadanie 1: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Dla x = -1: L = (-1)² - 3 · (-1) = 1 + 3 = 4. P = 4. Zachodzi L = P.
Zadanie 2: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: L = (-2 + 6) / (-2) = 4 / (-2) = -2. P = -2. Zachodzi L = P.
Zadanie 3: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: L = 2(10/3 - 9/3) = 2/3. P = 4 - 10/3 = 2/3. L = P.
Zadanie 4: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 5 · 0 + 3 = 3 => 3 = 3 (L = P).
Zadanie 5: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Równanie tożsamościowe (np. 2x = 2x) spełnia każda liczba.
Odpowiedzi — Zestaw 1: Metoda L = P (Podstawianie):
Zadanie 1: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: L = 3 · 5 - 4 = 15 - 4 = 11. P = 11. Zachodzi L = P.
Zadanie 2: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: L = 2 + 7 = 9. P = 10. Ponieważ 9 ≠ 10, liczba nie spełnia równania.
Zadanie 3: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 4 · 6 = 24.
Zadanie 4: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: L = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1. P = 1.
Zadanie 5: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 3 + 4 = 7.
Zadanie 6: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: L = 0 · (0 - 4) = 0. P = 0.
Zadanie 7: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: (1/2) · 4 = 2.
Zadanie 8: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: (-3)² = 9.
Zadanie 9: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: -2 - 2 = -4.
Zadanie 10: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 2 · (1/2) - 1 = 1 - 1 = 0.
Odpowiedzi — Zestaw 2: Testowanie odpowiedzi w zadaniach CKE:
Zadanie 1: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Dla x = 7: L = 3(7 - 1) = 18. P = 2(7 + 2) = 18. L = P.
Zadanie 2: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Dla x = 1: L = (2 + 4) / 3 = 6 / 3 = 2. P = 1 + 1 = 2.
Zadanie 3: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Dla x=2: 4 - 10 + 6 = 0. Dla x=3: 9 - 15 + 6 = 0.
Zadanie 4: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Dla x=2: 8 - 2 = 6 ≠ 0. Liczby 0, 1, -1 dają wynik 0.
Zadanie 5: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: √(4 + 5) = √9 = 3.
Zadanie 6: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 3 - (-4) = 3 + 4 = 7.
Zadanie 7: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Iloczyn wynosi 0 gdy x - 3 = 0 (x = 3) lub x + 2 = 0 (x = -2).
Zadanie 8: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: a·2 + 4 = 10 => 2a = 6 => a = 3.
Zadanie 9: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Dla a = 2: 2·1 + 3 = 5.
Zadanie 10: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: |5 - 3| = 2 oraz |1 - 3| = |-2| = 2.
Odpowiedzi — Zestaw 3: Wyzwanie E8 – Równania tożsamościowe i sprzeczne:
Zadanie 1: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 2x + 6 = 2x + 6 => 0 = 0 (tożsamość).
Zadanie 2: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 3x - 3x = -2 - 5 => 0 = -7 (sprzeczność).
Zadanie 3: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Dla m = 0 równanie przybiera postać 0 · x = 0, co spełnia każda liczba.
Zadanie 4: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: x² = -9. Kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny, stąd brak rozwiązań.
Zadanie 5: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Dziedzina: x ≠ 2. Po przyrównaniu liczników x = 2, ale 2 odrzucamy z dziedziny, więc równanie brak rozwiązań.
Zadanie 6: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Rozwiązania to x = 4, x = -4, x = 1. Suma = 4 + (-4) + 1 = 1.
Zadanie 7: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Wartość bezwzględna nie może być ujemna, brak rozwiązań.
Zadanie 8: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 4x - k = 4x - 6 => -k = -6 => k = 6.
Zadanie 9: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: x² - x = 0 => x(x - 1) = 0 => x = 0 lub x = 1.
Zadanie 10: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Dziedzina pierwiastka wymaga x - 4 ≥ 0 => x ≥ 4. Z pierwiastka x = 4. Z nawiasu x = 3 lub -3 (oba < 4 odrzucamy). Zatem jedynym rozwiązaniem jest x = 4.