matma.fun
Karta Pracy & Arkusz Ćwiczeń CKEImię i nazwisko: ................................................
Data: .................... | Klasa: .........
Temat 9.1: Wielkości wprost proporcjonalne
1. Skrót Teorii i Najważniejsze Wzory
Wielkości wprost proporcjonalne
Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, jeśli wraz ze wzrostem jednej z nich, druga rośnie tyle samo razy (lub gdy jedna maleje, druga maleje tyle samo razy).
Przykład: im więcej kupujesz jabłek, tym więcej za nie płacisz. Stosunek tych wielkości jest stały (nazywamy go współczynnikiem proporcjonalności):
Rozwiązywanie metodą „na krzyż” (z proporcji):
Zapisujemy dwie pary powiązanych wartości jedna pod drugą, dbając o to, by te same jednostki były w tych samych kolumnach:
Mnożymy po przekątnej i dzielimy przez trzecią liczbę:
2. Zadania Ćwiczeniowe (Rozwiąż samodzielnie)
Sprawdzian Wiedzy (Pytania Testowe):
Zadanie 1. Z 3 kg mąki można upiec 4 chleby. Ile kg mąki potrzeba do upieczenia 12 chlebów?
A. 9 kg
B. 8 kg
C. 12 kg
D. 6 kg
Zadanie 2. Samochód spala 6 litrów paliwa na 100 km. Ile litrów spali na dystansie 250 km?
A. 15 l
B. 12 l
C. 18 l
D. 20 l
Zadanie 3. Dwie wielkości x i y są wprost proporcjonalne, gdy ich stosunek y / x wynosi a (stała). Jeśli x rośnie 3 razy, to y:
A. rośnie 3 razy
B. maleje 3 razy
C. rośnie o 3
D. nie zmienia się
Zadanie 4. Za 5 zeszytów zapłacono 15 zł. Ile zapłacimy za 8 takich samych zeszytów?
A. 24 zł
B. 20 zł
C. 25 zł
D. 30 zł
Zadanie 5. Z 2,5 kg truskawek można zrobić 4 słoiki dżemu. Ile kg truskawek potrzeba na 10 słoików?
A. 6,25 kg
B. 6 kg
C. 5 kg
D. 7,5 kg
Zestaw 1: Podstawy proporcji prostej (Poziom Łatwy ⭐)
Zadanie 1. Rozwiąż proporcję: x / 4 = 6 / 8.
A. x = 3
B. x = 2
C. x = 4
D. x = 5
Zadanie 2. Za 2 kg jabłek zapłacono 6 zł. Ile zapłacimy za 5 kg tych jabłek?
A. 15 zł
B. 12 zł
C. 10 zł
D. 18 zł
Zadanie 3. W ciągu 2 godzin pieszy przeszedł 8 km. Ile km przejdzie w ciągu 5 godzin ze stałą prędkością?
A. 20 km
B. 16 km
C. 18 km
D. 25 km
Zadanie 4. Na ugotowanie 200 g ryżu potrzeba 400 ml wody. Ile ml wody potrzeba na 300 g ryżu?
A. 600 ml
B. 500 ml
C. 800 ml
D. 450 ml
Zadanie 5. Z 10 litrów mleka otrzymujemy 1 kg sera. Ile litrów mleka potrzeba na 3,5 kg sera?
A. 35 litrów
B. 30 litrów
C. 40 litrów
D. 25 litrów
Zadanie 6. Rozwiąż proporcję: 3 / 5 = 9 / x.
A. x = 15
B. x = 12
C. x = 18
D. x = 10
Zadanie 7. Za 4 długopisy zapłacono 10 zł. Ile kosztuje 10 takich długopisów?
A. 25 zł
B. 20 zł
C. 30 zł
D. 15 zł
Zadanie 8. Maszyna produkuje 100 detali w 20 minut. Ile detali wyprodukuje w 60 minut?
A. 300 detali
B. 200 detali
C. 400 detali
D. 250 detali
Zadanie 9. Rozwiąż proporcję: 5 / x = 20 / 16.
A. x = 4
B. x = 5
C. x = 8
D. x = 2
Zadanie 10. Mapa w skali charakteryzuje się proporcjonalnością prostą między odległością na mapie a odległością w terenie. Jeśli 1 cm to 5 km, to 4 cm odpowiadają:
A. 20 km
B. 15 km
C. 10 km
D. 25 km
Zestaw 2: Zadania praktyczne i rozbiór proporcjonalny CKE (Poziom Średni ⭐⭐)
Zadanie 1. Podziel kwotę 150 zł w stosunku 2 : 3. Części wynoszą:
A. 60 zł i 90 zł
B. 50 zł i 100 zł
C. 70 zł i 80 zł
D. 40 zł i 110 zł
Zadanie 2. Stosunek boków prostokąta wynosi 3 : 5, a obwód prostokąta to 48 cm. Długości boków to:
A. 9 cm i 15 cm
B. 6 cm i 10 cm
C. 12 cm i 20 cm
D. 3 cm i 5 cm
Zadanie 3. Na 90 bluzek S potrzeba tyle samo materiału co na 60 bluzek L. Ile bluzek L można uszyć z materiału na 240 bluzek S?
A. 160 bluzek L
B. 120 bluzek L
C. 180 bluzek L
D. 200 bluzek L
Zadanie 4. Współczynnik proporcjonalności a we wzorze y = ax dla punktu (x, y) = (4, 12) wynosi:
A. 3
B. 1/3
C. 48
D. 8
Zadanie 5. Stosunek kątów w trójkącie wynosi 1 : 2 : 3. Miary tych kątów to:
A. 30°, 60°, 90°
B. 20°, 40°, 120°
C. 45°, 45°, 90°
D. 30°, 30°, 120°
Zadanie 6. Firma zatrudnia pracowników w stosunku kobiety do mężczyzn 4 : 5. Jeśli mężczyzn jest 25, to ile jest kobiet?
A. 20 kobiet
B. 15 kobiet
C. 16 kobiet
D. 18 kobiet
Zadanie 7. Do upieczenia ciasta potrzeba mąki i cukru w stosunku 5 : 2. Użyto 400 g cukru. Ile mąki należy użyć?
A. 1 000 g
B. 800 g
C. 1 200 g
D. 600 g
Zadanie 8. Dwa miasta A i B połączono trasą. W skali 1 : 100 000 odległość na mapie wynosi 8 cm. Jaka jest odległość w terenie?
A. 8 km
B. 80 km
C. 800 m
D. 0,8 km
Zadanie 9. Rozwiąż proporcję: (x + 2) / 3 = 10 / 6.
A. x = 3
B. x = 5
C. x = 4
D. x = 2
Zadanie 10. Stosunek masy miedzi do cynku w mosiądzu wynosi 7 : 3. Ile kg miedzi znajduje się w 50 kg mosiądzu?
A. 35 kg
B. 15 kg
C. 25 kg
D. 30 kg
Zestaw 3: Wyzwanie E8 – Złożone podziały i funkcja liniowa (Poziom Wyzwanie ⭐⭐⭐)
Zadanie 1. Trzech inwestorów włożyło w biznes kapitał w stosunku 2 : 3 : 5. Do podziału jest zysk 120 000 zł. Ile otrzyma inwestor, który włożył najwięcej?
A. 60 000 zł
B. 36 000 zł
C. 24 000 zł
D. 50 000 zł
Zadanie 2. UWAGA: W odróżnieniu od proporcjonalności prostej, w proporcjonalności OD WROTNEJ iloczyn x · y jest stały. Jeśli 4 robotników wykonuje pracę w 6 dni, to 3 robotników wykona tę samą pracę w ile dni?
A. 8 dni
B. 4,5 dnia
C. 9 dni
D. 7 dni
Zadanie 3. Wykres funkcji proporcjonalności prostej y = ax przechodzi przez punkt P = (-3, 12). Współczynnik kierunkowy a wynosi:
A. a = -4
B. a = 4
C. a = -1/4
D. a = -36
Zadanie 4. Podziel odcinek o długości 42 cm na trzy części w stosunku 1 : 2 : 4. Długość najdłuższej części wynosi:
A. 24 cm
B. 12 cm
C. 6 cm
D. 18 cm
Zadanie 5. Wykres proporcjonalności prostej przechodzi przez punkty A(2, 6) i B(x, 15). Wartość x wynosi:
A. x = 5
B. x = 4
C. x = 6
D. x = 4,5
Zadanie 6. Boki trójkąta mają długości w stosunku 3 : 4 : 5. Najdłuższy bok jest o 6 cm dłuższy od najkrótszego. Obwód tego trójkąta wynosi:
A. 36 cm
B. 24 cm
C. 48 cm
D. 30 cm
Zadanie 7. Pompa o stałej wydajności w czasie t napowietrza V litrów wody. Jeśli w czasie 15 minut napowietrzyła 450 litrów, to w jakim czasie napowietrzy 1 200 litrów?
A. 40 minut
B. 35 minut
C. 45 minut
D. 50 minut
Zadanie 8. Proporcjonalność odwrotna: Samochód jadąc z prędkością 60 km/h pokonuje trasę w 4 godziny. Z jaką prędkością musi jechać, aby pokonać tę samą trasę w 3 godziny?
A. 80 km/h
B. 75 km/h
C. 70 km/h
D. 90 km/h
Zadanie 9. Dwaj bracia podzielili spadkowe konto w stosunku ich wieku 12 : 16 (po skróceniu 3 : 4). Starszy brat dostanie o 15 000 zł więcej niż młodszy. Ile wynosi cała kwota spadku?
A. 105 000 zł
B. 90 000 zł
C. 120 000 zł
D. 80 000 zł
Zadanie 10. Rozwiąż proporcję: (2x - 1) / 5 = (x + 3) / 4.
A. x = 19/3 = 6 1/3
B. x = 5
C. x = 4
D. x = 7
3. Karta Odpowiedzi i Wyjaśnienia Krok po Kroku
Poniższa sekcja służy do natychmiastowego sprawdzenia poprawności rozwiązanych zadań.
Odpowiedzi do Sprawdzianu Wiedzy:
Zadanie 1: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Proporcja: 3 kg — 4 chleby, x kg — 12 chlebów. Na krzyż: 4x = 36 => x = 9 kg.
Zadanie 2: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 100x = 6 · 250 = 1500 => x = 15 l.
Zadanie 3: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: W proporcjonalności prostej wzrost jednej wielkości powoduje taki sam k-krotny wzrost drugiej.
Zadanie 4: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 1 zeszyt kosztuje 15 : 5 = 3 zł. 8 zeszytów = 8 · 3 = 24 zł.
Zadanie 5: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 4x = 2,5 · 10 = 25 => x = 6,25 kg.
Odpowiedzi — Zestaw 1: Podstawy proporcji prostej:
Zadanie 1: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 8x = 24 => x = 3.
Zadanie 2: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 1 kg kosztuje 3 zł. 5 kg · 3 zł = 15 zł.
Zadanie 3: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Prędkość = 4 km/h. W 5h przejdzie 5 · 4 = 20 km.
Zadanie 4: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Stosunek 1 : 2. 300 g ryżu · 2 = 600 ml wody.
Zadanie 5: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 3,5 · 10 = 35 litrów.
Zadanie 6: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 3x = 45 => x = 15.
Zadanie 7: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 1 długopis = 2,50 zł. 10 · 2,50 = 25 zł.
Zadanie 8: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Czas wzrósł 3-krotnie, produkcja wzrośnie 3-krotnie: 100 · 3 = 300 detali.
Zadanie 9: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 20x = 80 => x = 4.
Zadanie 10: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 4 · 5 km = 20 km.
Odpowiedzi — Zestaw 2: Zadania praktyczne i rozbiór proporcjonalny CKE:
Zadanie 1: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Łącznie 5 części. 1 część = 150 / 5 = 30 zł. Części: 2 · 30 = 60 zł oraz 3 · 30 = 90 zł.
Zadanie 2: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Suma dwóch sąsiednich boków = 24 cm. 3x + 5x = 24 => 8x = 24 => x = 3 cm. Boki: 9 cm i 15 cm.
Zadanie 3: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Proporcja: 90 S — 60 L => 240 S — x L. 90x = 240 · 60 = 14 400 => x = 160.
Zadanie 4: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: a = y / x = 12 / 4 = 3.
Zadanie 5: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 1x + 2x + 3x = 180° => 6x = 180° => x = 30°. Kąty to 30°, 60°, 90°.
Zadanie 6: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 5 części = 25 => 1 część = 5. Kobiety = 4 · 5 = 20.
Zadanie 7: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 2 części = 400 g => 1 część = 200 g. Mąka = 5 · 200 = 1 000 g.
Zadanie 8: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 1 cm to 1 km. 8 cm to 8 km.
Zadanie 9: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 10 / 6 = 5 / 3 => x + 2 = 5 => x = 3.
Zadanie 10: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Łącznie 10 części = 50 kg => 1 część = 5 kg. Miedź = 7 · 5 = 35 kg.
Odpowiedzi — Zestaw 3: Wyzwanie E8 – Złożone podziały i funkcja liniowa:
Zadanie 1: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Łącznie 10 części. 1 część = 12 000 zł. Największy inwestor (5 części) = 5 · 12 000 = 60 000 zł.
Zadanie 2: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Proporcjonalność odwrotna: 4 · 6 = 3 · d => 24 = 3d => d = 8 dni.
Zadanie 3: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 12 = a · (-3) => a = -4.
Zadanie 4: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Łącznie 7 części. 1 część = 42 / 7 = 6 cm. Najdłuższa = 4 · 6 = 24 cm.
Zadanie 5: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: a = 6 / 2 = 3. Zatem 15 = 3x => x = 5.
Zadanie 6: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 5x - 3x = 2x = 6 cm => x = 3 cm. Boki to 9 cm, 12 cm, 15 cm. Obwód = 36 cm.
Zadanie 7: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Wydajność = 450 / 15 = 30 l/min. Czas = 1200 / 30 = 40 minut.
Zadanie 8: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 60 · 4 = v · 3 => 240 = 3v => v = 80 km/h.
Zadanie 9: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Różnica części = 4 - 3 = 1 część = 15 000 zł. Łącznie części = 7. Spadek = 7 · 15 000 = 105 000 zł.
Zadanie 10: Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: 4(2x - 1) = 5(x + 3) => 8x - 4 = 5x + 15 => 3x = 19 => x = 19/3.